Question

有如下命題：已知橢圓

x2

9

+

y2

4

=1，AA′是橢圓的長軸，P（x₁，y₁）是橢圓上異于A，A′的任意一點，過P作斜率為-

4x1

9y1

的直線l，過直線l上的兩點M，M′分別作x軸的垂線，垂足分別為點A，A′，則
（1）|AM||A′M′|為定值4；
（2）由A，A′，M′，M四點構(gòu)成的四邊形面積的最小值為12．
請分析上述命題，并根據(jù)上述命題對于橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）構(gòu)造出一個具有一般性結(jié)論的命題，使上述命題是一個特例，寫出這一命題，并證明這一命題是真命題．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：分析題設(shè)命題，根據(jù)命題對于橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）性質(zhì)能構(gòu)造出一個具有一般性結(jié)論的命題，使題設(shè)命題是一個特例，寫出這一命題并證明：（1）不妨設(shè)A（-a，0），A′（a，0），則直線l：y-y₁=-

b2x1

a2y1

(x-x1)，即b2x1x+a2y1y=b2x12+a2y12=a2b2，由M與A，M′與A′在相同的橫坐標(biāo)，能證明|AM||A′M′|=b²；（2）由題意知，不論四點的位置如何，四邊形的面積S=

1

2

|AA′|(|AM|+|A′M′|)．由此能證明四邊形的面積的最小值為2ab．

解答： 解：這一命題是：已知

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，AA′是橢圓的長軸，P（x₁，y₁）是橢圓上異于A，A′的任意一點，過P作斜率為-

b2x1

a2y1

的直線l，過直線l上的兩點M，M′分別作x軸的垂線，垂足分別為A，A′，則：
（1）|AM||A′M′|為定值b²；
（2）由A，A′，M′，M四點構(gòu)成的四邊形面積的最小值為2ab．（6分）．
這個命題是真命題，證明如下：
（1）不妨設(shè)A（-a，0），A′（a，0），則直線l：y-y₁=-

b2x1

a2y1

(x-x1)，
即b2x1x+a2y1y=b2x12+a2y12=a2b2，
由M與A，M′與A′在相同的橫坐標(biāo)，
得M（-a，

ab2+b2x1

ay1

），M′(a，

ab2-b2x1

ay1

)，
∴|AM||A′M′|=|yMyM′|
=|

ab2+b2x1

ay1

•

ab2-b2x1

ay1

|
=|b2•

a2b2-b2x12

a2y12

|=b²．（10分）
（2）由題意知，不論四點的位置如何，
四邊形的面積S=

1

2

|AA′|(|AM|+|A′M′|)．
∵|AA'|=2a，且|AM|，|A′M′|都為正數(shù)，
∴S=

1

2

|AA′|(|AM|+|A′M′|)=a(|AM|+|A′M′|)≥a(2

|AM||A′M′|

)=2ab．
即四邊形的面積的最小值為2ab．（14分）

點評：本題考查命題的敘述與證明，考查橢圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系、考查函數(shù)與方程思想、考查推理論證能力的培養(yǎng)，是中檔題．