已知函數(shù)f(x)=|x-4|-t,t∈R,且關(guān)于x的不等式f(x+2)≤2的解集為[-1,5].
(1)求t值;
(2)a,b,c均為正實(shí)數(shù),且a+b+c=t,求證:
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥1.
考點(diǎn):基本不等式在最值問題中的應(yīng)用
專題:不等式
分析:(1)由f(x+2)≤2得|x-4|-t≤2,解得-t≤x≤t+4,即可得出結(jié)論;
(2)利用(1)的結(jié)論得a+b+c=1,則
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
+(a+b+c)=(
a2
b
+b
)+(
b2
c
+c)+(
c2
a
+a)利用基本不等式即可得出證明.
解答: 解:(1)由f(x+2)≤2得|x-4|-t≤2,
∴當(dāng)t+2≥0時(shí),解得-t≤x≤t+4,
又∵不等式f(x+2)≤2的解集為[-1,5],
∴-t=-1且t+4=5,∴t=1.
(2)∵a,b,c均為正實(shí)數(shù),且a+b+c=1,
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
+(a+b+c)=(
a2
b
+b
)+(
b2
c
+c)+(
c2
a
+a)≥2
a2
+2
b2
+2
c2
=2(a+b+c)=2
a2
b
+
b2
c
+
c2
a
≥1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查含絕對(duì)值的不等式的解法及利用基本不等式證明不等式成立等知識(shí),解題時(shí)注意不等式的變形,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)集合A={x|x2+2x-3>0},R為實(shí)數(shù),Z為整數(shù)集,則(CRA)∩Z=( 。
A、{x|-3<x<1}
B、{x|-3≤x≤1}
C、{-2,-1,0}
D、{-3,-2,-1,0,1}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1,求{an}的通項(xiàng)公式
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(2-a)(x-1)-2lnx,(a為常數(shù),e為自然對(duì)數(shù)的底,e≈2.71828).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)>0在區(qū)間(0,
1
2
)上恒成立,求a的最小值.

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已知三棱柱ABC-A′B′C′,側(cè)棱與底面垂直,且所有的棱長(zhǎng)均為2,E為AA′的中點(diǎn),F(xiàn)為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求多面體ABCB′C′E的體積;
(Ⅱ)求異面直線C'E與CF所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

“水”這個(gè)曾經(jīng)人認(rèn)為取之不盡用之不竭的資源,竟然到了嚴(yán)重制約我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展,嚴(yán)重影響人民生活的程度.因?yàn)槿彼,每年給我國工業(yè)造成的損失達(dá)2000億元,給我國農(nóng)業(yè)造成的損失達(dá)1500億元,嚴(yán)重缺水困擾全國三分之二的城市.為了節(jié)約用水,某市打算出臺(tái)一項(xiàng)水費(fèi)政策,規(guī)定每季度每人用水量不超過5噸時(shí),每噸水費(fèi)1.2元,若超過5噸而不超過6噸時(shí),超過的部分的水費(fèi)加收200%,若超過6噸而不超過7噸時(shí),超過部分的水費(fèi)加收400%,如果某人本季度實(shí)際用水量為x(x≤7)噸,應(yīng)交水費(fèi)為f(x).
(1)試求出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若本季度他交了12.6元,求他本季度實(shí)際用水多少噸?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=4x2-kx-8,若y=f(x)在區(qū)間(-∞,2]上有最小值為-12,求實(shí)數(shù)k的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是定義在(-∞,+∞)上的增函數(shù),若a∈R,則( 。
A、f(a)>f(2a)
B、f(a2)<f(a)
C、f(a+3)>f(a-2)
D、f(6)>f(a)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(Ⅰ)證明:當(dāng)x>1時(shí),2lnx<x-
1
x
;
(Ⅱ)若不等式(1+
a
t
)ln(1+t)>a
對(duì)任意的正實(shí)數(shù)t恒成立,求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)求證:(
9
10
)19
1
e2

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