Question

設(shè)函數(shù)定義域為，且.設(shè)點是函數(shù)圖像上的任意一點，過點分別作直線和 軸的垂線，垂足分別為．

（1）寫出的單調(diào)遞減區(qū)間（不必證明）；
（2）問：是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，則說明理由；
（3）設(shè)為坐標(biāo)原點，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

（1）函數(shù)在上是減函數(shù).
（2） 
（3）。

試題分析：
思路分析：（1）根據(jù)函數(shù)的圖象過點，確定a，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性。
（2）、設(shè) ，根據(jù)直線的斜率 ，確定的方程。
利用聯(lián)立方程組求得M,N的坐標(biāo)，計算可得 。
（3）、為求四邊形面積的最小值，根據(jù)（2）將面積用 表示，
，應(yīng)用均值定理求解。
解：（1）、因為函數(shù)的圖象過點，
所以函數(shù)在上是減函數(shù).
（2）、設(shè) ，直線的斜率 ，
則的方程。
聯(lián)立 ，
 、 
，
 
（2）、（文）設(shè)，直線的斜率為，
則的方程 ，
聯(lián)立 ， ，
3、 ， ，
∴，
，，
∴ ，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴ 此時四邊形面積有最小值。
點評：中檔題，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大。以“對號函數(shù)”為背景，綜合考查函數(shù)的單調(diào)性，直線與雙曲線的位置關(guān)系，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，均值定理的應(yīng)用，面積計算等。