Question

9．已知極坐標(biāo)系的極點O在直角坐標(biāo)系的原點處，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的參數(shù)方程為：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2mt}\\{y=2t\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$（其中t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ=4cosθ，
（1）寫出C的直角坐標(biāo)方程，并指出C是什么曲線；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于P、Q兩點，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系即可得出普通方程；
（2）把直線的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程得出P，Q對應(yīng)的參數(shù)，從而求出|y_P-y_Q|，代入面積公式得出面積關(guān)于m的函數(shù)，使用換元法利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的單調(diào)性，從而得出面積的最大值．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ得ρ²=4ρcosθ，
把ρ²=x²+y²，ρcosθ=x代入上式得x²+y²-4x=0，即（x-2）²+y²=4．
∴曲線C表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓．
（2）把$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+2mt}\\{y=2t\;\;\;\;\;\;\;}\end{array}}\right.$代入x²+y²-4x=0得4（1+m²）t²-4mt-3=0，
設(shè)P，Q對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁t₂=-$\frac{3}{4（1+{m}^{2}）}$，t₁+t₂=$\frac{m}{1+{m}^{2}}$．
∴|y_P-y_Q|=|2t₁-2t₂|=2|t₁-t₂|=2$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{4{m}^{2}+3}}{1+{m}^{2}}$．
設(shè)M（1，0），則S_△OPQ=S_△OMP+S_△OMQ=$\frac{1}{2}$|OM||y_P-y_Q|=$\frac{\sqrt{4{m}^{2}+3}}{1+{m}^{2}}$．
令$\sqrt{4{m}^{2}+3}$=t，則t≥$\sqrt{3}$，m²=$\frac{{t}^{2}-3}{4}$．
∴S_△OPQ=$\frac{4t}{{t}^{2}+1}$，令f（t）=$\frac{4t}{{t}^{2}+1}$，則f′（t）=$\frac{1-4{t}^{2}}{（1+{t}^{2}）^{2}}$＜0，
∴f（t）在[$\sqrt{3}$，+∞）上為減函數(shù)，
∴當(dāng)t=$\sqrt{3}$時，f（t）取得最大值f（$\sqrt{3}$）=$\sqrt{3}$．
∴當(dāng)t=$\sqrt{3}$即m=0時，△OPQ的面積取得最大值$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)最值的求法，屬于中檔題．