Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC中點(diǎn)，AA₁=AB=a．
（Ⅰ）求證：AD⊥B₁D；
（Ⅱ）求二面角B₁-AD-B余弦值的大小；
（Ⅲ）求三棱錐C-AB₁D的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）證明BB₁⊥AD，BC⊥AD，可得AD⊥面BB₁D，即可證明AD⊥B₁D；
（Ⅱ）證明∠BDB₁二面角B₁-AD-B的平面角，從而可求二面角B₁-AD-B余弦值的大�。�
（Ⅲ）利用VC-AB1D=VB1ADC，即可求三棱錐C-AB₁D的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁正三棱柱，D是BC中點(diǎn)
∴BB₁⊥AD，BC⊥AD
∵BB₁∩BC=B，
∴AD⊥面BB₁D，
∴AD⊥B₁D
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AD⊥面BB₁D
∴AD⊥B₁D，BC⊥AD，
∴∠BDB₁二面角B₁-AD-B的平面角
在RT△BB₁D中BB₁=a，BD=

1

2

a，
∴cos∠BDB₁=

5

5

（Ⅲ）解：由圖知VC-AB1D=VB1ADC，AA₁=AB=a
∴VC-AB1D=VB1ADC=

1

3

S_△ADCBB₁=

3

24

a3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的求法，考查三棱錐體積的計(jì)算．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地化空間問題為平面問題．