Question

3．已知實數(shù)a≥2，試判斷函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{{e}^{x}}$$+\frac{a}{e•x}$的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 令f（x）=0得xlnx=$\frac{x}{{e}^{x}}-\frac{a}{e}$，分別求出左右兩側(cè)函數(shù)的最小值和最大值即可得出方程無解，從而得出結(jié)論．

解答 解：令f（x）=0得lnx=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{ex}$．∴xlnx=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{e}$．
令g（x）=xlnx，h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{a}{e}$，
則g′（x）=lnx+1，h′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$．
∴當(dāng)0＜x$＜\frac{1}{e}$時，g′（x）＜0，當(dāng)$x＞\frac{1}{e}$時，g′（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜1時，h′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，h′（x）＜0．
∴g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上單調(diào)遞增，
h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴g_min（x）=g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，h_max（x）=h（1）=$\frac{1-a}{e}$．
∵a≥2，∴$\frac{1-a}{e}$≤-$\frac{1}{e}$．
∴方程g（x）=h（x）無解，即f（x）無零點．

點評 本題考查了函數(shù)零點的個數(shù)判斷，函數(shù)的單調(diào)性與最值，其中構(gòu)造函數(shù)g（x），h（x）為難點，屬于中檔題，