Question

已知20C

n n+5

=4（n+5）C

n-1 n+3

+14A

2 n+3

，則n=

2

．

Answer 1

分析：由條件可得20•

C

5 n+5

=4（n+5）•

C

4 n+3

+14•

A

2 n+3

，利用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式化簡可得n的值．

解答：解：由已知20C

n n+5

=4（n+5）C

n-1 n+3

+14A

2 n+3

，
可得 20•

C

5 n+5

=4（n+5）•

C

4 n+3

+14•

A

2 n+3

，
∴20×

(n+5)(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)

5!

=4（n+5）×

(n+3)(n+2)(n+1)n

4!

+14（n+3）（n+2），
∴（n+5）（n+4）（n+3）（n+2）（n+1）=n（n+5）（n+3）（n+2）（n+1）+84（n+3）（n+2），
即（n+5）（n+4）（n+1）=n（n+5）（n+1）+84，
故有4（n+5）（n+1）=84，故（n+5）（n+1）=21，故有 n+1=3，
解得n=2，
故答案為 2．

點評：本題主要考查排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的應用，屬于中檔題．