Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點M在棱AB上，AM=，點P是平面ABCD內的動點，且點P到直線A₁D₁的距離與點P到M的距離的平方差為，則P點的軌跡是________．

Answer 1

拋物線
分析：以A為原點，AB、AA₁分別為y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標系，得M（0，，0）．設P（x，y，0），用空間兩點的距離公式，結合題意列出關于x、y的方程，化簡整理得拋物線方程：x²=y，即得本題的答案．
解答：以A為原點，AB、AA₁分別為y軸、z軸，建立如圖空間直角坐標系
則M（0，，0），設P（x，y，0），
設PR⊥A₁D₁于R，則PR是點P到直線A₁D₁的距離
PR²=y²+1，PM²=x²+（y-）²，
由題意，得PR²-PM²=y²+1-[x²+（y-）²]=
化簡，得x²=y，
故P的軌跡是以A為頂點，AB為軸的拋物線
故答案為：拋物線
點評：本題在正方體中給出動點到定直線距離與到定點距離平方差為定值，著重考查了空間兩點間的距離公式和曲線與方程等知識，屬于中檔題．