Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2^{x+1}}，-1≤x≤0\\{x^3}-3x+2，0＜x≤a\end{array}$的值域為[0，2]，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （0，1]
• B． [1，$\sqrt{3}$]
• C． [1，2]
• D． [$\sqrt{3}$，2]

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式先求出當(dāng)-1≤x≤0上的值域，結(jié)合函數(shù)在定義域上的值域關(guān)系，確定a的范圍即可得到結(jié)論．

解答 解：當(dāng)-1≤x≤0時，f（x）=2^x+1∈[1，2]，
當(dāng)0＜x≤a時，f（x）=x³-3x+2，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
由f′（x）＞0得x＞1或x＜-1，
由f′（x）＜0得-1＜x＜1，
則當(dāng)x=1時，函數(shù)f（x）取得極小值f（1）=0，
∵f（0）=2，
∴若函數(shù)f（x）的值域為[0，2]，
則a≥1，
且當(dāng)a≥1時，f（a）≤2，
即a³-3a+2≤2，得a³-3a≤0，
a²-3≤0，
得1≤a≤$\sqrt{3}$，
故選：B

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)值域的范圍，利用導(dǎo)數(shù)法和數(shù)形結(jié)合判斷函數(shù)的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．