Question

若等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足為常數(shù)，則稱該數(shù)列為S數(shù)列．
（Ⅰ）判斷a_n=4n-2是否為S數(shù)列？并說明理由；
（Ⅱ）若首項為a₁的等差數(shù)列{a_n}（a_n不為常數(shù)）為S數(shù)列，試求出其通項公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）由a_n=4n-2，得a₁=2，d=4，，
所以它為S數(shù)列；
（Ⅱ）設等差數(shù)列{a_n}，公差為d，則（常數(shù)），
∴2a₁n+n²d-nd=4a₁kn+4n²dk-2nkd，化簡得d（4k-1）n+（2k-1）（2a₁-d）=0①，
由于①對任意正整數(shù)n均成立，
則解得：，
故存在符合條件的等差數(shù)列，其通項公式為：a_n=（2n-1）a₁，其中a₁≠0．
分析：（Ⅰ）由等差數(shù)列的通項公式找出等差數(shù)列的首項和公差，然后利用等差數(shù)列的前n項和的公式表示出S_n和S_2n，求出等于為常數(shù)，所以得到該數(shù)列為S數(shù)列；
（Ⅱ）設此數(shù)列的公差為d，根據(jù)首項和公差，利用等差數(shù)列的前n項和的公式表示出S_n和S_2n，因為此數(shù)列為S數(shù)列，得到等于常數(shù)，設比值等于k，去分母化簡后得到關于n的一個多項式等于0，令其系數(shù)和常數(shù)項等于0即可求出k和d值，根據(jù)首項和公差d寫出該數(shù)列的通項公式即可．
點評：此題考查學生靈活運用等差數(shù)列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，掌握題中的新定義并會利用新定義化簡求值，是一道綜合題．