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15.已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在區(qū)間[0,1]上的最大值是3,求實(shí)數(shù)a的值.

分析 先求對(duì)稱軸,比較對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系,利用開(kāi)口向下的二次函數(shù)離對(duì)稱軸越近函數(shù)值越大來(lái)解題.

解答 解:函數(shù)f(x)=-x2+2ax-a+1圖象的對(duì)稱軸為直線x=a,
當(dāng)a<0時(shí),[0,1]是f(x)的遞減區(qū)間,f(x)max=f(0)=1-a=3,
∴a=-2;
當(dāng)a>1時(shí),[0,1]是f(x)的遞增區(qū)間,f(x)max=f(1)=a=3,
∴a=3;
當(dāng)0≤a≤1時(shí),f(x)max=f(a)=a2-a+1=3,
解得a=-1(舍去),或a=2(舍去),
所以a=-2或a=3.

點(diǎn)評(píng) 此題是個(gè)中檔題.本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題.關(guān)于不定解析式的二次函數(shù)在固定閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,一般是根據(jù)對(duì)稱軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系來(lái)進(jìn)行分類討論,如軸在區(qū)間左邊,軸在區(qū)間右邊,軸在區(qū)間中間,最后在綜合歸納得出所需結(jié)論.

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