Question

【題目】設函數f(x)=x +bx，曲線y=f(x)在點 (2,f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4，
（1）求a,b的值；
（2）求f(x)的單調區(qū)間。

Answer 1

【答案】
（1）

解：

∴

∵曲線 在點 處的切線方程為

∴ ，

即 ①

②

由①②解得： ，

（2）

解：∵a=2，b=e；

∴f（x）=xe2﹣x+ex，

∴f′（x）=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=（1﹣x）e2﹣x+e，

f″（x）=﹣e2﹣x﹣（1﹣x）e2﹣x=（x﹣2）e2﹣x，

由f″（x）＞0得x＞2，由f″（x）＜0得x＜2，

即當x=2時，f′（x）取得極小值f′（2）=（1﹣2）e2﹣2+e=e﹣1＞0，

∴f′（x）＞0恒成立，

即函數f（x）是增函數，

即f（x）的單調區(qū)間是（﹣∞，+∞）．

【解析】（1）求函數的導數，根據導數的幾何意義求出函數的切線斜率以及f（2），建立方程組關系即可求a，b的值；（2）求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系即可求f（x）的單調區(qū)間．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減即可以解答此題．