Question

如圖，圓錐SO中，AB、CD為底面圓的兩條直徑，AB∩CD=O，且AB⊥CD，SO=OB=2，P為SB的中點．
（1）求證：SA∥平面PCD；
（2）求圓錐SO的表面積；
（3）求異面直線SA與PD所成的角正切值．

Answer 1

分析：（1）連接PO，利用三角形中位線性質(zhì)，可得線線平行，從而可得線面平行；
（2）分別計算圓錐底面、側(cè)面面積，即可求得圓錐SO的表面積；
（3）確定∠DPO為異面直線SA與PD所成的角，即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：連接PO，
∵P、O分別為SB、AB的中點，∴PO∥SA，
∵PO?平面PCD，SA?平面PCD
∴SA∥平面PCD；
（2）解：∵圓錐的底面半徑r=2，母線長l=SB=2

2

，
S_底面=πr²=4π，S_側(cè)面=πl(wèi)r=4

2

π
S_圓錐表面=S_底面+S_側(cè)面=4（

2

+1）π
（3）解：∵PO∥SA，∴∠DPO為異面直線SA與PD所成的角，
∵AB⊥CD，SO⊥CD，AB∩SO=O
∴CD⊥平面SOB．
∵PO?平面SOB，∴OD⊥PO，
在Rt△DOP中，OD=2，OP=

1

2

SA=

1

2

SB=

2

，
∴tan∠DPO=

OD

OP

=

2

∴異面直線SA與PD所成角的正切值為

2

．

點評：本題考查線面平行，考查表面積的計算，考查線線角，考查學生的計算能力，屬于中檔題．