Question

給出函數(shù)f（x）=e^x+e^1-x，若f（x）≥f（x₀）對(duì)一切x∈R成立，則x₀=

1

2

．

Answer 1

分析：此即函數(shù)f（x）=e^x+e^1-x在x₀處取到最小值．利用導(dǎo)數(shù)求解．先求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，最后考慮零點(diǎn)左右的單調(diào)性即可．

解答：解：∵y=e^x+e^1-x，
∴y′=e^x-e^1-x，
令y′=e^x-e^1-x=0，
得x=

1

2

，
且當(dāng)x＞

1

2

時(shí)，y′＞0，原函數(shù)是增函數(shù)，
當(dāng)x＜

1

2

時(shí)，y′＜0，原函數(shù)是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)y=e^x+e^1-x取最小值，最小值為f（

1

2

）．
若f（x）≥f（x₀）對(duì)一切x∈R成立，則x₀=

1

2

故答案為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．