Question

19．若函數f（x）對任意實數x，y均有f（x）•f（y）=f（x+y），且對于任意的x都有f（x）＞0，且當x＜0時f（x）＞1．
（1）求證：f（x）為R上的減函數；
（2）當f（4）=$\frac{1}{16}$時，若f（x²-3x+2）≤$\frac{1}{4}$，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令x₁＞x₂且x₁，x₂∈R，有f（x₁）•f（x₂-x₁）=f（x₂），又x₂-x₁＜0，即f（x₂-x₁）＞1故$\frac{{f（{x_2}）}}{{f（{x_1}）}}=f（{x_2}-{x_1}）＞1$，從而確定f（x₁）與f（x₂）的大小，根據函數單調性的定義進行判定即可；
（2）由f（4）=$\frac{1}{16}=f（2+2）={f^2}$（2）⇒故f（2）=$\frac{1}{4}$，不等式可變形為f（x²-3x+2）≤f（2）即x²-3x≥0，從而求解．

解答 （1）證明：令x₁＞x₂且x₁，x₂∈R
有f（x₁）•f（x₂-x₁）=f（x₂），又x₂-x₁＜0，即f（x₂-x₁）＞1
故$\frac{{f（{x_2}）}}{{f（{x_1}）}}=f（{x_2}-{x_1}）＞1$，又f（x）＞0∴f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）為R上的減函數； …（6分）
（2）f（4）=$\frac{1}{16}=f（2+2）={f^2}$（2）⇒故f（2）=$\frac{1}{4}$，…（8分）
則原不等式可變形為f（x²-3x+2）≤f（2）
即x²-3x≥0------------（10分）
解得：x≥3或x≤0------------（12分）

點評 以及靈活利用所給的恒等式證明函數的單調性，及利用單調性解不等式問題．此類題要求答題者有較高的數學思辨能力，能從所給的條件中尋找到證明問題的關鍵點出來．屬于中檔題．