Question

【題目】解答
（1）已知f（x）= ，證明：f（x）是R上的增函數；
（2）解方程：log5（3﹣25x）=2x．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：證法一：

設x1＜x2，則

∴f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = ＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）是R上的增函數．

證法二：f（x）= =1﹣ ，

∴f′（x）= ，

∵f′（x）＞0恒成立，

故f（x）是R上的增函數

（2）

解：由解得原方程可得3﹣25x=52x，

整理得（5x﹣1）（5x+3）=0，

∵5x+3＞3≠0，

∴5x﹣1=0，

解得x=0，

∴所求方程的解集為{0}

【解析】（1）證法一：設x1＜x2 ， 作差判斷出f（x1）＜f（x2），根據函數單調性的定義，可得：f（x）是R上的增函數．證法二：求導，根據f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函數．（2）原方程可化為3﹣25x=52x ， 即（5x﹣1）（5x+3）=0，由5x+3＞3≠0得：5x﹣1=0，解得答案．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法和利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區(qū)間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題．