(2013•廣元二模)已知圓O:x2+y2=1,點O為坐標原點,一條直線l:y=kx+b(b>0)與圓O相切并與橢圓
x2
2
+y2=1
交于不同的兩點A、B.
(1)設(shè)b=f(k),求f(k)的表達式;
(2)若
OA
OB
=
2
3
,求直線l的方程;
(3)若
OA
OB
=m(
2
3
≤m≤
3
4
)
,求三角形OAB面積的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)y=kx+b(b>0)與圓x2+y2=1相切,可得
|b|
1+k2
=1
,即可求f(k)的表達式;
(2)直線與橢圓方程聯(lián)立,
y=kx+b
x2
2
+y2=1
,利用韋達定理及
OA
OB
=
2
3
,即可求得直線l的方程;
(3)確定
1
2
k2≤1
,利用弦長公式,求|AB|,從而可求△OAB面積的取值范圍.
解答:解:(1)∵y=kx+b(b>0)與圓x2+y2=1相切,
|b|
1+k2
=1
,即b2=k2+1(k≠0),
b=
k2+1
…(4分)
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則由
y=kx+b
x2
2
+y2=1
,消去y得:(2k2+1)x2+4kbx+2b2-2=0
又△=8k2>0(∵k≠0),所以x1+x2=-
4kb
2k2+1
,x1x2=
2b2-2
2k2+1
.…(6分)
OA
OB
=x1x2+y1y2
=
k2+1
2k2+1

OA
OB
=
2
3
,所以k2=1.
∴b2=2.∵b>0,∴b=
2
,
l:y=x+
2
,y=-x+
2
.…(9分)
(3)由(2)知:
k2+1
2k2+1
=m

2
3
≤m≤
3
4
,∴
2
3
k2+1
2k2+1
3
4
,∴
1
2
k2≤1
,
由弦長公式得|AB|=
k2+1
2
2k2
2k2+1
,所以S=
1
2
|AB|=
2k2(k2+1)
2k2+1
,
設(shè)2k2+1=t,∴2≤t≤3,S=
2
2
1-
1
t2

6
4
≤S≤
2
3
.…(14分)
點評:本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查向量知識的運用,考查三角形的面積的計算,解題的關(guān)鍵是利用直線與圓的位置關(guān)系,屬于中檔題.
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aman
=4a1,則
1
m
+
4
n
的最小值為(  )

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1
3
x3-x2+ax+b
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(1)求實數(shù)a,b的值;
(2)設(shè)g(x)=f(x)+
m
x-1
是[2,+∞)上的增函數(shù).
①求實數(shù)m的最大值;
②當m取最大值時,是否存在點Q,使得過點Q的直線若能與曲線y=g(x)圍成兩個封閉圖形,則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,說明理由.

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1-2log2x
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(0,
2
]
(0,
2
]

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x-y+1≥0
y+1≥0
x+y+1≤0
,則z=x+2y
的最小值是
-4
-4

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