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9.如圖,直角梯形OABC中,∠COA=∠OAB=\frac{π}{2},OC=2,OA=AB=1,SO⊥平面OABC,且SO=1,點M為SC的中點.
(Ⅰ)求證:BM∥平面SOA;
(Ⅱ)求二面角O-SC-B的余弦值.

分析 解法一:(Ⅰ)取SO的中點G,連接MG、AG.說明MG∥OC,推出MG∥AB,得到BM∥AG,然后證明BM∥平面SOA.
(Ⅱ)以OC,OA,OS所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.求出平面SOC的一個法向量,平面SCB的一個法向量,利用空間向量的數(shù)量積求解二面角O-SC-B的余弦值.
解法二:(Ⅰ)以OC,OA,OS所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,求出\overrightarrow{BM}=(0,-1,\frac{1}{2}),求出平面SOA的一個法向量,利用\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{OC}=0,推出BM∥平面SOA.
(Ⅱ)求出平面SOC的一個法向量,平面SCB的一個法向量,利用空間向量的數(shù)量積,求解即可.

解答 (本小題滿分12分)
解法一:(Ⅰ)取SO的中點G,連接MG、AG.
故MG∥OC,且MG=\frac{1}{2}OC,…(1分)
又由已知,AB∥OC,且AB=\frac{1}{2}OC,所以MG∥AB,且MG=AB,即四邊形MGAB為平行四邊形 …(2分)
故BM∥AG…(3分)
又因為BM?平面SOA,AG?平面SOA,…(4分)
所以BM∥平面SOA.…(5分)
(Ⅱ)由SO⊥平面OABC,∠COA=\frac{π}{2},故OS,OC,OA兩兩垂直,分別以OC,OA,OS
所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.…(6分)
則O(0,0,0),B(1,1,0),C(2,0,0),S(0,0,1),A(0,1,0)
因為OA⊥平面SOC,故\overrightarrow{OA}=(0,1,0)即為平面SOC的一個法向量,…(7分)
設平面SCB的一個法向量為\overrightarrow{n}=(x,y,z),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=0}\end{array}\right.,得\left\{\begin{array}{l}2x-z=0\\ x+y-z=0\end{array}\right.,令x=1,得\overrightarrow{n}=(1,1,2).…(9分)
cos<\overrightarrow n,\overrightarrow{OA}>=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{OA}}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{OA|}}}=\frac{1}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}.…(11分)
即二面角O-SC-B的余弦值為\frac{{\sqrt{6}}}{6}…(12分)
解法二:(Ⅰ)由SO⊥平面OABC,∠COA=\frac{π}{2},故OS,OC,OA
兩兩垂直,分別以OC,OA,OS所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz…(1分)
O(0,0,0),B(1,1,0),C(2,0,0),S(0,0,1),M(1,0,\frac{1}{2}),故\overrightarrow{BM}=(0,-1,\frac{1}{2}),…(2分)
因為OC⊥平面SOA,故\overrightarrow{OC}=(2,0,0)是平面SOA的一個法向量.…(3分)
因為\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{OC}=0,故\overrightarrow{BM}⊥\overrightarrow{OC},…(4分)
而BM?平面SOA,所以BM∥平面SOA.…(5分)
(Ⅱ)因OA⊥平面SOC,故\overrightarrow{OA}=(0,1,0)即為平面SOC的一個法向量 …(7分)
設平面SCB的一個法向量為\overrightarrow{n}=(x,y,z),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=0}\end{array}\right.,得\left\{\begin{array}{l}2x-z=0\\ x+y-z=0\end{array}\right.,令x=1,得\overrightarrow{n}=(1,1,2).…(9分)
cos<\overrightarrow n,\overrightarrow{OA}>=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{OA}}}{{|\overrightarrow n|•|\overrightarrow{OA|}}}=\frac{1}{{\sqrt{6}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{6}.…(11分)
即二面角O-SC-B的余弦值為\frac{{\sqrt{6}}}{6}.…(12分)

點評 本題考查空間向量的數(shù)量積的應用,二面角的平面鏡的求法,考查直線與平面平行的判定定理的應用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力.

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