Question

13．已知函數(shù)f（x）=|x+b²|-|-x+1|，g（x）=|x+a²+c²|+|x-2b²|，其中a，b，c均為正實數(shù)，且ab+bc+ac=1．
（Ⅰ）當b=1時，求不等式f（x）≥1的解集；
（Ⅱ）當x∈R時，求證f（x）≤g（x）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當b=1時，把f（x）用分段函數(shù)來表示，分類討論，求得f（x）≥1的解集．
（Ⅱ）當x∈R時，先求得f（x）的最大值為b²+1，再求得g（x）的最小值，根據(jù)g（x）的最小值減去f（x）的最大值大于或等于零，可得f（x）≤g（x）成立．

解答 解：（Ⅰ）由題意，當b=1時，f（x）=|x+b²|-|-x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-2，x≤-1}\\{2x，-1＜x＜1}\\{2，x≥1}\end{array}\right.$，
當x≤-1時，f（x）=-2＜1，不等式f（x）≥1無解，不等式f（x）≥1的解集為∅；
當-1＜x＜1時，f（x）=2x，由不等式f（x）≥1，解得x≥$\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{2}$≤x＜1；
當x≥1時，f（x）=2≥1恒成立，
所以不等式f（x）≥1的解集為[$\frac{1}{2}$，+∞）．
（Ⅱ）（Ⅱ）當x∈R時，f（x）=|x+b²|-|-x+1|≤|x+b² +（-x+1）|=|b²+1|=b²+1；
g（x）=|x+a²+c²|+|x-2b²|=≥|x+a²+c²-（x-2b²）|=|a²+c²+2b²|=a²+c²+2b²．
而 a²+c²+2b²-（b²+1）=a²+c²+b²-1=$\frac{1}{2}$（ a²+c²+b²+a²+c²+b² ）-1≥ab+bc+ac-1=0，
當且僅當a=b=c=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，等號成立，即 a²+c²+2b²≥b²+1，即f（x）≤g（x）．

點評 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù)，絕對值三角不等式的應(yīng)用，比較2個數(shù)大小的方法，屬于中檔題．