Question

已知平面上10個(gè)圓，任意兩個(gè)都相交．是否存在直線l，與每個(gè)圓都有公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：借助于這十個(gè)圓在已設(shè)的直線l₀上的投影來(lái)處理，只要在所有圓的公共投影內(nèi)作直線l₀的垂線l，則此垂線必滿足條件．

解答：解：存在直線l，與每個(gè)圓都有公共點(diǎn)．
證明如下：
如圖，先作直線l₀，設(shè)第i個(gè)圓在直線l₀上的正投影是線段A_iB_i，其中A_i、B_i分別是線段的左右端點(diǎn)．
10個(gè)圓有10個(gè)投影線段，有10個(gè)左端點(diǎn)，有10個(gè)右端點(diǎn)．                                         
因?yàn)槿我鈨蓚�(gè)圓都相交，所以任意兩條投影線段都有重疊的部分，
設(shè)A_k是最右邊的左端點(diǎn)，則所有右端點(diǎn)都在A_k的右邊，
否則必有兩條投影線段無(wú)重疊部分，與對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓相交矛盾．                                             
再設(shè)B_m是最左邊的右端點(diǎn)，同理所有左端點(diǎn)都在B_m的左邊．A_k與B_m不重合，
線段A_kB_m是任意一條投影線段的一部分，過(guò)線段A_kB_m上某一點(diǎn)作直線l₀的垂線l，
則l與10個(gè)圓都相交．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓的位置關(guān)系的判定，注意轉(zhuǎn)化為投影問(wèn)題是解決此題的關(guān)鍵．