Question

已知α，β，γ，滿足0＜α＜β＜γ＜2π，若?x∈R，cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ）=0，則γ-α=

4π

3

．

Answer 1

分析：設(shè)f（x）=cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ），通過賦值f（-α）=0，f（-β）=0，f（-γ）=0，可求得cos（β-α）=cos（γ-β）=cos（γ-α）=-

1

2

，結(jié)合已知0＜α＜β＜γ＜2π，即可求得答案．

解答：解：設(shè)f（x）=cos（x+α）+cos（x+β）+cos（x+γ），
由題意知，?x∈R，f（x）=0恒成立，
則f（-α）=f（-β）=f（-γ）=0，
∴cos（β-α）+cos（γ-α）=cos（β-α）+cos（γ-β）=cos（γ-α）+cos（γ-β）=-1，
故cos（β-α）=cos（γ-β）=cos（γ-α）=-

1

2

．
由于0＜α＜β＜γ＜2π，
故β-α，γ-β，γ-α∈{

2π

3

，

4π

3

}，
從而γ-α=

4π

3

．

點評：本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)，突出考查構(gòu)造函數(shù)思想與賦值法的應用，考查綜合分析與運算的能力，屬于難題．