Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線l：相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x，y）為軌跡C上一定點(diǎn)，經(jīng)過A作直線AB、AC 分別交拋物線于B、C 兩點(diǎn)，若 AB 和AC 的斜率之積為常數(shù)c．求證：直線 BC 經(jīng)過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)M為動(dòng)圓圓心，過點(diǎn)M作直線l：的垂線，垂足為N，由題意知：|MF|=|MN|，由拋物線的定義知，
點(diǎn)M的軌跡是以為焦點(diǎn)，l：為準(zhǔn)線的拋物線，從而求得其軌跡方程． 
（Ⅱ）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），求出BC的斜率，用點(diǎn)斜式求得BC的方程2px-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，再根據(jù)
AB 和AC 的斜率之積為常數(shù)c，得到，，可得BC的方程為，可得直線BC經(jīng)過定點(diǎn)．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)M為動(dòng)圓圓心，設(shè)F，過點(diǎn)M作直線l：的垂線，垂足為N，由題意知：|MF|=|MN|由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，l：為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為y²=2px（p＞0）．
（Ⅱ）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
于是（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2p（x₁-x₂），∴BC的斜率 ．
所以，直線BC的方程為，即2px-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0.，
所以，．
所以，直線BC的方程為．
即．  于是，直線BC經(jīng)過定點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，用點(diǎn)斜式求直線的方程，求出直線BC的方程為，是解題的難點(diǎn)．