Question

如圖，在四棱錐E﹣ABCD中，矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直，且∠BAE=120°，AE=AB=4，AD=2，F，G，H分別為BE，AE，BC的中點

（1）求證：DE∥平面FGH；

（2）若點P在直線GF上，=λ，且二面角D﹣BP﹣A的大小為，求λ的值．

 

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）λ的值等于1或4．

【解析】

試題分析：（1）取AD的中點M，連接MH，MG,由G、H、F分別是AE、BC、BE的中點，得MH∥GF，G、F、H、M四點共面，又MG∥DE，所以DE∥平面MGFH；（2）在平面ABE內過A作AB的垂線，記為AP，則AP⊥平面ABCD．以A為原點，AP、AB、AD所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立建立空間直角坐標系A﹣xyz，如圖所示．可得坐標，利用空間向量的坐標運算求出平面PBD的一個法向量=（5﹣2λ，，2），再由圖可知平面ABP的一個法向量為，由cos＜＞==得λ=1或4．

【解析】
（1）證明：取AD的中點M，連接MH，MG．

∵G、H、F分別是AE、BC、BE的中點，

∴MH∥AB，GF∥AB，

∴MH∥GF，即G、F、H、M四點共面，平面FGH即平面MGFH，

又∵△ADE中，MG是中位線，∴MG∥DE

∵DE?平面MGFH，MG?平面MGFH，

∴DE∥平面MGFH，即直線DE與平面FGH平行．

（2）在平面ABE內，過A作AB的垂線，記為AP，則AP⊥平面ABCD．

以A為原點，AP、AB、AD所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立建立空間直角坐標系A﹣xyz，如圖所示．

可得A（0，0，0），B（0，4，0），D（0，0，2），E（2，﹣2，0），G（，﹣1，0），F（，1，0）

∴=（0，2，0），=（0，﹣4，2），=（，﹣5，0）．

由=λ=（0，2λ，0），可得=+=（，2λ﹣5，0）．

設平面PBD的法向量為=（x，y，z），

則，取y=，得z=2，x=5﹣2λ，

∴=（5﹣2λ，，2），

又∵平面ABP的一個法向量為=（0，0，1），

∴cos＜＞===cos=，解之得λ=1或4

即λ的值等于1或4．

 

考點：1．線面平行的性質與判定；2．二面角；3．空間想象能力．