Question

16．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$．
（1）寫出C₁的普通方程和C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P在C₁上，點(diǎn)Q在C₂上，求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用兩邊平方和同角的平方關(guān)系，即可得到C₁的普通方程，運(yùn)用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及兩角和的正弦公式，化簡可得C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）由題意可得當(dāng)直線x+y-4=0的平行線與橢圓相切時(shí)，|PQ|取得最值．設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線方程為x+y+t=0，代入橢圓方程，運(yùn)用判別式為0，求得t，再由平行線的距離公式，可得|PQ|的最小值，解方程可得P的直角坐標(biāo)．
另外：設(shè)P（$\sqrt{3}$cosα，sinα），由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最小值和P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
移項(xiàng)后兩邊平方可得$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=cos²α+sin²α=1，
即有橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1；
曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$，
即有ρ（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ）=2$\sqrt{2}$，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y-4=0，
即有C₂的直角坐標(biāo)方程為直線x+y-4=0；
（2）由題意可得當(dāng)直線x+y-4=0的平行線與橢圓相切時(shí)，
|PQ|取得最值．
設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線方程為x+y+t=0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+t=0}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$可得4x²+6tx+3t²-3=0，
由直線與橢圓相切，可得△=36t²-16（3t²-3）=0，
解得t=±2，
顯然t=-2時(shí)，|PQ|取得最小值，
即有|PQ|=$\frac{|-4-（-2）|}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，
此時(shí)4x²-12x+9=0，解得x=$\frac{3}{2}$，
即為P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．
另解：設(shè)P（$\sqrt{3}$cosα，sinα），
由P到直線的距離為d=$\frac{|\sqrt{3}cosα+sinα-4|}{\sqrt{2}}$
=$\frac{|2sin（α+\frac{π}{3}）-4|}{\sqrt{2}}$，
當(dāng)sin（α+$\frac{π}{3}$）=1時(shí)，|PQ|的最小值為$\sqrt{2}$，
此時(shí)可取α=$\frac{π}{6}$，即有P（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，同時(shí)考查直線與橢圓的位置關(guān)系，主要是相切，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．