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16.在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為{x=3cosαy=sinα(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+π4)=22
(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P在C1上,點(diǎn)Q在C2上,求|PQ|的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).

分析 (1)運(yùn)用兩邊平方和同角的平方關(guān)系,即可得到C1的普通方程,運(yùn)用x=ρcosθ,y=ρsinθ,以及兩角和的正弦公式,化簡(jiǎn)可得C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)由題意可得當(dāng)直線x+y-4=0的平行線與橢圓相切時(shí),|PQ|取得最值.設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線方程為x+y+t=0,代入橢圓方程,運(yùn)用判別式為0,求得t,再由平行線的距離公式,可得|PQ|的最小值,解方程可得P的直角坐標(biāo).
另外:設(shè)P(3cosα,sinα),由點(diǎn)到直線的距離公式,結(jié)合輔助角公式和正弦函數(shù)的值域,即可得到所求最小值和P的坐標(biāo).

解答 解:(1)曲線C1的參數(shù)方程為{x=3cosαy=sinα(α為參數(shù)),
移項(xiàng)后兩邊平方可得x23+y2=cos2α+sin2α=1,
即有橢圓C1x23+y2=1;
曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+π4)=22,
即有ρ(22sinθ+22cosθ)=22,
由x=ρcosθ,y=ρsinθ,可得x+y-4=0,
即有C2的直角坐標(biāo)方程為直線x+y-4=0;
(2)由題意可得當(dāng)直線x+y-4=0的平行線與橢圓相切時(shí),
|PQ|取得最值.
設(shè)與直線x+y-4=0平行的直線方程為x+y+t=0,
聯(lián)立{x+y+t=0x2+3y2=3可得4x2+6tx+3t2-3=0,
由直線與橢圓相切,可得△=36t2-16(3t2-3)=0,
解得t=±2,
顯然t=-2時(shí),|PQ|取得最小值,
即有|PQ|=|42|1+1=2,
此時(shí)4x2-12x+9=0,解得x=32,
即為P(32,12).
另解:設(shè)P(3cosα,sinα),
由P到直線的距離為d=|3cosα+sinα4|2
=|2sinα+π34|2,
當(dāng)sin(α+π3)=1時(shí),|PQ|的最小值為2,
此時(shí)可取α=π6,即有P(32,12).

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程和普通方程的互化、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化,同時(shí)考查直線與橢圓的位置關(guān)系,主要是相切,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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