Question

14．若函數(shù)f（x）=mlnx+x²-mx在區(qū)間（0，+∞）內單調遞增．則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． [0，8]
• B． （0，8]
• C． （-∞，0]∪[8，+∞）
• D． （-∞，0）∪（8，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導數(shù)，得到m（x-1）≤2x²在（0，+∞）遞增，通過討論x的范圍，分離參數(shù)m，根據(jù)函數(shù)的單調性求出m的范圍即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{m}{x}$+2x-m=$\frac{{2x}^{2}-mx+m}{x}$，
若f（x）在（0，+∞）遞增，
則2x²-mx+m≥0在（0，+∞）恒成立，
即m（x-1）≤2x²在（0，+∞）遞增，
①x∈（0，1）時，只需m≥$\frac{{2x}^{2}}{x-1}$在（0，1）恒成立，
令p（x）=$\frac{{2x}^{2}}{x-1}$，x∈（0，1），
則p′（x）=$\frac{4x（x-1）-{2x}^{2}}{{（x-1）}^{2}}$=$\frac{2x（x-2）}{{（x-1）}^{2}}$＜0，
故p（x）在（0，1）遞減，x→0時，p（x）→0，x→1時，p（x）→-∞，
故p（x）＜0，m≥0；
②x=1時，m≥0，
③x∈（1，+∞）時，只需m≤$\frac{{2x}^{2}}{x-1}$在（1，+∞）恒成立，
令q（x）=$\frac{{2x}^{2}}{x-1}$，x∈（1，+∞），
則q′（x）=$\frac{4x（x-1）-{2x}^{2}}{{（x-1）}^{2}}$=$\frac{2x（x-2）}{{（x-1）}^{2}}$，
令q′（x）＞0，解得：x＞2，令q′（x）＜0，解得：x＜2，
故q（x）在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
故q（x）的最小值是q（2）=8，
故m≤8，
綜上，m∈[0，8]．
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．