Question

15．已知a∈R，函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}+lnx-1，g（x）=（lnx-1）{e^x}$+x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的單調(diào)性；
（2）是否存在實(shí)數(shù)x₀∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，由此進(jìn)行分類討論，能得到函數(shù)f（x）在（0，e]上的單調(diào)性．
（2）對(duì)g（x）求導(dǎo)，由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上的最小值：f（x）_min=f（1）=0，由此能導(dǎo)出不存在實(shí)數(shù)x₀∈（0，+∞），使曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1，∴x∈（0，+∞），∴f′（x）=-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
若a≤0，則f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增；
若0＜a＜e，當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（a，e]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，e]上單調(diào)遞增，
若a≥e，則f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減．
（2）解：∵g（x）=（lnx-1）e^x+x，x∈（0，+∞），
g′（x）=（lnx-1）′e^x+（lnx-1）（e^x）′+1
=$\frac{{e}^{x}}{x}$+（lnx-1）e^x+1
=（$\frac{1}{x}$+lnx-1）e^x+1，
由（1）易知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上的最小值：f（x）_min=f（1）=0，
即x₀∈（0，+∞）時(shí)，$\frac{1}{{x}_{0}}$+lnx₀-1≥0，
又${e}^{{x}_{0}}$＞0，
∴g′（x₀）=（$\frac{1}{{x}_{0}}$+lnx₀-1）${e}^{{x}_{0}}$+1≥1＞0．
曲線y=g（x）在點(diǎn)x=x₀處的切線與y軸垂直等價(jià)于方程g′（0）=0有實(shí)數(shù)解．
而g′（x₀）＞0，即方程g′（x₀）=0無(wú)實(shí)數(shù)解．故不存在．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查實(shí)數(shù)是否存在的判斷，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，綜合性強(qiáng)，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．