Question

已知定義在R上的函數(shù)滿足：f（x）=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0)

，且f（x+2）=f（x），g（x）=

2x+5

x+2

，則方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-7，3]上的所有實數(shù)根之和為（　�。�

• A、-9
• B、-10
• C、-11
• D、-12

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，由圖象讀出即可．

解答：解：∵f（x）=

x2+2，x∈[0，1) 2-x2，x∈[-1，0)

，且f（x+2）=f（x），
∴f（x-2）-2=

x2，x-2∈[0，1) -x2，x-2∈[-1，0)

又g（x）=

2x+5

x+2

，則g（x）=2+

1

x+2

，
∴g(x-2)-2=

1

x

，
當(dāng)x≠2k-1，k∈Z時，
上述兩個函數(shù)都是關(guān)于（-2，2）對稱，
；

由圖象可得：方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-7，3]上的實根有5個，
x₁=-3，x₂滿足-5＜x₂＜-4，x₃滿足0＜x₃＜1，x₂+x₃=-4
x₄滿足-7＜x₄＜-6，x₃滿足2＜x₅＜3，x₄+x₅=-4
∴方程f（x）=g（x）在區(qū)間[-7，3]上的所有實根之和為-11．
故答案為；C．

點評：本題考查函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)．