Question

已知函數(shù)f(x)=x-

2

x

+a(2-lnx)，(a＞0)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：先求出函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)f′(x)=1+

2

x2

-

a

x

=

x2-ax+2

x2

，設(shè)g（x）=x²-ax+2，二次方程g（x）=0的判別式△=a²-8，然后討論△的正負(fù)，再進(jìn)一步考慮導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：f（x）的定義域是（0，+∞），f′(x)=1+

2

x2

-

a

x

=

x2-ax+2

x2

．
設(shè)g（x）=x²-ax+2，二次方程g（x）=0的判別式△=a²-8．
①當(dāng)△=a²-8＜0，即0＜a＜2

2

時(shí)，對(duì)一切x＞0都有f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
②當(dāng)△=a²-8=0，即a=2

2

時(shí)，僅對(duì)x=

2

有f′（x）=0，對(duì)其余的x＞0都有f′（x）＞0，此時(shí)f（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)．
③當(dāng)△=a²-8＞0，即a＞2

2

時(shí)，
方程g（x）=0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1=

a- a2-8

2

，x2=

a+ a2-8

2

，0＜x₁＜x₂．

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	_	0	+
f（x）	單調(diào)遞增↗	極大	單調(diào)遞減↘	極小	單調(diào)遞增

此時(shí)f（x）在(0，

a- a2-8

2

)上單調(diào)遞增，在(

a- a2-8

2

，

a+ a2-8

2

)是上單調(diào)遞減，在(

a+ a2-8

2

，+∞)上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．