Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）當時，，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，分和兩種情況討論，分析導數(shù)的符號變化，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）問題變形為，令，由題意得出，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍即可．

（1），定義域為且.

①當時，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當時，由，得，得.

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增.

此時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；

（2）變形為，

令，定義域為，且，

.

①當時，對任意的，，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，

此時，，合乎題意；

②當時，則函數(shù)在上的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

（i）當時，即當時，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，

此時，則函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).

此時，，合乎題意；

（ii）當時，即當時，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，，

又，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當時，，不合乎題意.

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.