分析 (1)利用an=Sn-Sn-1及(Sn-1)2=anSn整理可知Sn=12−Sn−1,通過計算出前三項的值,利用歸納推理猜想Sn=nn+1,進而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;
(2)通過(1)裂項可知bn=(-1)n+1(1n-1n+2),進而分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可;
(3)通過(1)可知cn=1n,進而問題轉(zhuǎn)化為求首項為1、公比為12的等比數(shù)列的前n項和.
解答 解:(1)∵an=Sn-Sn-1,
∴(Sn-1)2=anSn=(Sn-Sn-1)Sn,即Sn=12−Sn−1,
又∵(S1-1)2=S12,即S1=12,
∴S2=12−12=23,S3=12−23=34,
…
猜想:Sn=nn+1.
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明:
①當(dāng)n=1時,命題成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時,有Sk=kk+1,
則Sk+1=12−kk+1=k+1k+2,
即當(dāng)n=k+1時,命題也成立;
由①②可知Sn=nn+1.
∴an=Sn-Sn-1=nn+1-n−1n=1n(n+1)(n≥2),
又∵a1=S1=12滿足上式,
∴數(shù)列{an}的通項公式an=1n(n+1);
(2)由(1)可知,bn=(-1)n+1•(an+an+1)=(-1)n+1(1n-1n+2),
特別地,當(dāng)n為奇數(shù)時,n+1為偶數(shù),此時bn+bn+1=1n-1n+2-1n+1+1n+3,
①若n為偶數(shù),則Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(bn-1+bn)
=(1-13-12+14)+(13-15-14+16)+…+(1n−1-1n+1-1n+1n+2)
=1-12-1n+1+1n+2
=12-1(n+1)(n+2);
②當(dāng)n為奇數(shù)且n>1時,Tn=Tn-1+bn,
故Tn=12-1n(n+1)+1n-1n+2=12+1(n+1)(n+2),
又∵T1=b1=23滿足上式,
∴當(dāng)n為奇數(shù)時,Tn=12+1(n+1)(n+2);
由①②可知:Tn={12+1(n+1)(n+2),n為奇數(shù)12−1(n+1)(n+2),n為偶數(shù);
(3)由(1)可知an=1n(n+1),
∴cn=(n+1)•an=1n(n∈N*),
由題意可知需等比數(shù)列{dn}的首項及公比均達到最大,顯然首項為1、公比為12,
∴1+12+122+…+12n=1−12n1−12=2(1-12n),
∵n→∞lim(1+12+122+…+12n)=n→∞lim[2(1-12n)]=2,
∴M的最小值為2.
點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查分類討論的思想,考查數(shù)學(xué)歸納法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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A. | √3π3 | B. | √6π3 | C. | 2√3π3 | D. | 2√6π3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 1000√2π | B. | 125√2π | C. | 1000√2π3 | D. | 125√2π3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (10+2√2)π2+1 | B. | 13π6 | C. | (11+√2)π2+1 | D. | (11+2√2)π2+1 |
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