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11.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且(Sn-1)2=anSn(n∈N*).
(1)求出S1,S2,S3的值,并求出Sn及數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=(-1)n+1•(an+an+1)(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(3)設(shè)cn=(n+1)•an(n∈N*),在數(shù)列{cn}中取出m(m∈N*且m≥3)項,按照原來的順序排列成一列,構(gòu)成等比數(shù)列{dn},若對任意的數(shù)列{dn},均有d1+d2+…+dn≤M,試求M的最小值.

分析 (1)利用an=Sn-Sn-1及(Sn-1)2=anSn整理可知Sn=12Sn1,通過計算出前三項的值,利用歸納推理猜想Sn=nn+1,進而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可;
(2)通過(1)裂項可知bn=(-1)n+11n-1n+2),進而分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可;
(3)通過(1)可知cn=1n,進而問題轉(zhuǎn)化為求首項為1、公比為12的等比數(shù)列的前n項和.

解答 解:(1)∵an=Sn-Sn-1
∴(Sn-1)2=anSn=(Sn-Sn-1)Sn,即Sn=12Sn1
又∵(S1-1)2=S12,即S1=12,
∴S2=1212=23,S3=1223=34

猜想:Sn=nn+1
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明:
①當(dāng)n=1時,命題成立;
②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時,有Sk=kk+1,
則Sk+1=12kk+1=k+1k+2,
即當(dāng)n=k+1時,命題也成立;
由①②可知Sn=nn+1
∴an=Sn-Sn-1=nn+1-n1n=1nn+1(n≥2),
又∵a1=S1=12滿足上式,
∴數(shù)列{an}的通項公式an=1nn+1;
(2)由(1)可知,bn=(-1)n+1•(an+an+1)=(-1)n+11n-1n+2),
特別地,當(dāng)n為奇數(shù)時,n+1為偶數(shù),此時bn+bn+1=1n-1n+2-1n+1+1n+3
①若n為偶數(shù),則Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(bn-1+bn
=(1-13-12+14)+(13-15-14+16)+…+(1n1-1n+1-1n+1n+2
=1-12-1n+1+1n+2
=12-1n+1n+2;
②當(dāng)n為奇數(shù)且n>1時,Tn=Tn-1+bn,
故Tn=12-1nn+1+1n-1n+2=12+1n+1n+2,
又∵T1=b1=23滿足上式,
∴當(dāng)n為奇數(shù)時,Tn=12+1n+1n+2
由①②可知:Tn={12+1n+1n+2n(shù)121n+1n+2n(shù)
(3)由(1)可知an=1nn+1,
∴cn=(n+1)•an=1n(n∈N*),
由題意可知需等比數(shù)列{dn}的首項及公比均達到最大,顯然首項為1、公比為12,
∴1+12+122+…+12n=112n112=2(1-12n),
nlim(1+12+122+…+12n)=nlim[2(1-12n)]=2,
∴M的最小值為2.

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查分類討論的思想,考查數(shù)學(xué)歸納法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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