Question

某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬(wàn)元到1000萬(wàn)元的投資收益．現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對(duì)科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，且獎(jiǎng)金不超過(guò)9萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%．
（Ⅰ）請(qǐng)分析函數(shù)y=+2是否符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，并說(shuō)明原因；
（Ⅱ）若該公司采用函數(shù)模型y=作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型為y=f（x），根據(jù)“獎(jiǎng)金y（單位：萬(wàn)元）隨投資收益x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，說(shuō)明在定義域上是增函數(shù)，且獎(jiǎng)金不超過(guò)9萬(wàn)元，即f（x）≤9，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)投資收益的20%．即f（x）≤．
（Ⅱ）先將函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及使g（x）≤9對(duì)x∈[10，1000]恒成立以及使g（x）≤對(duì)x∈[10，1000]恒成立，建立不等式，求出相應(yīng)的a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）對(duì)于函數(shù)模型f（x）=+2
當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，f（x）為增函數(shù)  …（2分）
f（x）_max=f（1000）=+2=+2＜9，所以f（x）≤9恒成立；…（4分）
但當(dāng)x=10時(shí)，f（10）=+2＞，即f（x）≤不恒成立
故函數(shù)模型y=+2不符合公司要求…（6分）
（Ⅱ）對(duì)于函數(shù)模型g（x）=，即g（x）=10-
當(dāng)3a+20＞0，即a＞-時(shí)遞增…（8分）
為使g（x）≤9對(duì)x∈[10，1000]恒成立，即要g（1000）≤9，3a+18≥1000，
即a≥…（10分）
為使g（x）≤對(duì)x∈[10，1000]恒成立，即要≤，即x²-48x+15a≥0恒成立，
即（x-24）²+15a-576≥0（x∈[10，1000]）恒成立，又x=24∈[10.1000]，
故只需15a-576≥0即可，
所以a≥…（12分）
綜上所述，a≥，所以滿足條件的最小的正整數(shù)a的值為328…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及函數(shù)的最值得應(yīng)用，同時(shí)考查了函數(shù)的單調(diào)性和恒成立問題，以及轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．