Question

如圖，設直線l：y=k（x-2

2

）與拋物線C：y²=2x相交于點P、Q兩點，其中Q點在第一象限，當k＞0時，過點Q作x軸的垂線交拋物線C于點R．
（Ⅰ）當∠RPQ=90°時，求k的值；
（Ⅱ）當△PQR的外接圓圓心到拋物線C的焦點F的距離d在區(qū)間[2

2

+

3

2

，2

2

+

9

2

]變化時，求該圓面積的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由直線l：y=k（x-2

2

）與拋物線C：y²=2x得：y²-

2

k

y-4

2

=0，利用∠RPQ=90°，得

2

y1+y2

×

2

y1-y2

=-1，即可求k的值；
（Ⅱ）求出PQ的中垂線方程，可得圓心坐標，進而可得△PQR的外接圓圓心到拋物線C的焦點F的距離d，求出1≤

1

k2

≤4，再求出圓的半徑的范圍，即可求該圓面積的取值范圍．

解答： 解：（I）由直線l：y=k（x-2

2

）與拋物線C：y²=2x得：y²-

2

k

y-4

2

=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則R（x₂，-y₂），y₂＞0，
∴

y1+y2= 2 k y1y2=-4 2

，
∵∠RPQ=90°，
∴

2

y1+y2

×

2

y1-y2

=-1，即y1 2-y2 2=-4，
又y1y2=-4

2?

，聯(lián)立解得y1=-2，y2=2

2

，
∴k=

2

y1+y2

=

2

+1
（Ⅱ）設PQ中點M（x₀，y₀），則y₀=

1

k

，x₀=

1

k2

+2

2

，
∴PQ的中垂線方程為y-

1

k

=-

1

k

（x-

1

k2

-2

2

）
令y=0，可得x=

1

k2

+2

2

+1，
∴圓心坐標為（

1

k2

+2

2

+1，0）
拋物線C的焦點F（

1

2

，0），
∴d=

1

k2

+2

2

+

1

2

∵d在區(qū)間[2

2

+

3

2

，2

2

+

9

2

]變化，
∴1≤

1

k2

≤4，
∵|PQ|=

1+ 1 k2

|y₁-y₂|=

1+ 1 k2

•

4 k2 +16 2

，
圓心到直線kx-y-2

2

k=0的距離d′=

|k+ 1 k |

1+k2

，
∴圓的半徑r²=

1

k4

+（4

2

+2）

1

k2

+4

2

+1，
∵1≤

1

k2

≤4，
∴4+8

2

≤r²≤25+20

2

，
∴圓面積的取值范圍[（4+8

2

）π，（25+20

2

）π]．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查圓的面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．