Question

已知點P是△ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于點E，AF⊥PC于F，
（1）求證：平面PBC⊥平面PAB．
（2）求證：PC⊥平面AEF．

Answer 1

分析：（1）證平面PBC⊥平面PAB，只需證平面PBC內(nèi)的BC⊥平面PAB，即證PA⊥BC，AB⊥BC即可，由PA⊥平面ABC，且∠ABC=90°可得；
（2）證PC⊥平面AEF，只需證AF⊥PC，且AE⊥PC即可，這由已知條件和平面PBC⊥平面PAB可得．

解答：證明：（1）∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC；
又AB⊥BC，PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴BC⊥平面PAB，而BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB．
（2）∵平面PBC⊥平面PAB，且AE?平面PAB，平面PAB∩平面PBC=PB，
∵AE⊥PB，∴AE⊥平面PBC，
又PC?平面PBC，∴AE⊥PC；
由已知AF⊥PC，且AE∩AF=A，AE?平面AEF，AF?平面AEF，
∴PC⊥平面AEF．

點評：本題考查了空間中的直線與直線垂直，直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，是中檔題目．