已知點P是△ABC所在平面外一點,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于點E,AF⊥PC于F,
(1)求證:平面PBC⊥平面PAB.
(2)求證:PC⊥平面AEF.
分析:(1)證平面PBC⊥平面PAB,只需證平面PBC內(nèi)的BC⊥平面PAB,即證PA⊥BC,AB⊥BC即可,由PA⊥平面ABC,且∠ABC=90°可得;
(2)證PC⊥平面AEF,只需證AF⊥PC,且AE⊥PC即可,這由已知條件和平面PBC⊥平面PAB可得.
解答:證明:(1)∵PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC;
又AB⊥BC,PA∩AB=A,PA?平面PAB,AB?平面PAB,
∴BC⊥平面PAB,而BC?平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PAB.
(2)∵平面PBC⊥平面PAB,且AE?平面PAB,平面PAB∩平面PBC=PB,
∵AE⊥PB,∴AE⊥平面PBC,
又PC?平面PBC,∴AE⊥PC;
由已知AF⊥PC,且AE∩AF=A,AE?平面AEF,AF?平面AEF,
∴PC⊥平面AEF.
點評:本題考查了空間中的直線與直線垂直,直線與平面垂直,平面與平面垂直的判定與性質(zhì),是中檔題目.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(考生注意:請在下列三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評閱記分)
A.(不等式選做題)不等式|
x+1
x-1
|≥1
的解集是
(-∞,0]
(-∞,0]

B.(幾何證明選做題) 如圖,以AB=4為直徑的圓與△ABC的兩邊分別交于E,F(xiàn)兩點,∠ACB=60°,則EF=
2
2

C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 在極坐標(biāo)中,已知點P為方程ρ(cosθ+sinθ)=1所表示的曲線上一動點,Q(2,
π
3
),則|PQ|的最小值為
6
2
6
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011年重慶市高二下學(xué)期檢測數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題

  如圖,已知點P是三角形ABC外一點,且底面

,點,分別在棱上,且 。  。 

(1)求證:平面;

(2)當(dāng)的中點時,求與平面所成的角的大;

(3)是否存在點使得二面角為直二面角?并說明理由.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年陜西省西安市西工大附中高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版) 題型:填空題

(考生注意:請在下列三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評閱記分)
A.(不等式選做題)不等式的解集是   
B.(幾何證明選做題) 如圖,以AB=4為直徑的圓與△ABC的兩邊分別交于E,F(xiàn)兩點,∠ACB=60°,則EF=   
C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 在極坐標(biāo)中,已知點P為方程ρ(cosθ+sinθ)=1所表示的曲線上一動點,Q(2,),則|PQ|的最小值為   

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年陜西省西安市西工大附中高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:填空題

(考生注意:請在下列三題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題評閱記分)
A.(不等式選做題)不等式的解集是   
B.(幾何證明選做題) 如圖,以AB=4為直徑的圓與△ABC的兩邊分別交于E,F(xiàn)兩點,∠ACB=60°,則EF=   
C.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 在極坐標(biāo)中,已知點P為方程ρ(cosθ+sinθ)=1所表示的曲線上一動點,Q(2,),則|PQ|的最小值為   

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知點P在△ABC所在平面外,直線PA與AB、AC所成的角均為arcsin,且AB = AC =,BC =,則異面直線PA與BC的距離是         。

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