Question

16．如圖所示，直角梯形ABCD兩條對角線AC，BD的交點為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，M為線段AB上一點，AM=2MB，且AB⊥BC，AB∥CD，AB=BE=6，CD=BC=3．
（I）求證：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角O-EF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （I）過點O作ON∥AB，交AD于點N，連接MN，NF，由ON∥AB，及其AM=2MB，可得N=BM，即OBMN是平行四邊形，可得MN$\underset{∥}{=}$OB，根據(jù)四邊形OBEF為矩形，可得MN$\underset{∥}{=}$EF，四邊形EMNF是平行四邊形，可得EM∥NF．
即可證明EM∥平面ADF．
（II）由題意，BE⊥平面ABCD，如圖所示，以B為原點，分別以$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BE}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，設(shè)平面CEF的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，同理可取平面BEF的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，-1，0）．利用cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$即可得出．

解答 （I）證明：過點O作ON∥AB，交AD于點N，連接MN，NF，∵ON∥AB，∴$\frac{ON}{AB}$=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{1}{3}$，
又AM=2MB，∴ON=BM，即OBMN是平行四邊形，
∴MN$\underset{∥}{=}$OB，∵四邊形OBEF為矩形，∴EF$\underset{∥}{=}$OB，∴MN$\underset{∥}{=}$EF，∴四邊形EMNF是平行四邊形，∴EM∥NF．
又EM?平面ADF，F(xiàn)N?平面ADF，∴EM∥平面ADF．
（II）解：由題意，BE⊥平面ABCD，如圖所示，以B為原點，分別以$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BE}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，可得B（0，0，0），C（3，0，0），E（0，0，6），F(xiàn)（2，2，6）．
則$\overrightarrow{CE}$=（-3，0，6），$\overrightarrow{CF}$=（-1，2，6），$\overrightarrow{BE}$=（0，0，6），$\overrightarrow{BF}$=（2，2，6）．
設(shè)平面CEF的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{CE}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CF}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-3x+6z=0}\\{-x+2y+6z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（2，-2，1）．
同理可取平面BEF的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，-1，0）．

∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴二面角O-EF-C的余弦值為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、法向量的應(yīng)用、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．添加好友后才能回復(fù)？