已知關于x的方程x2-2mx+m+6=0的兩個根為x1,x2,求函數(shù)y=(x1-1)2+(x2-1)2的最小值.

解:∵方程x2-2mx+m+6=0的兩個根為x1,x2,
且△=4(m2-m-6)≥0,
∴y=(x1-1)2+(x2-1)2=(x1+x22-2x1x2-2(x1+x2)+2=4m2-6m-10,
且m≥3或m≤-2.
由二次函數(shù)的性質知,當m=3時,
函數(shù)y=4m2-6m-10的取得最小值,最小值為:8.
即函數(shù)y=(x1-1)2+(x2-1)2的最小值是8.
分析:先根據(jù)根與系數(shù)的關系利用參數(shù)m表示出函數(shù)的解析式,必須注意參數(shù)m的取值范圍,再結合二次函數(shù)的圖象與性質求出最小值即可.
點評:本題主要考查了二次方程根與系數(shù)的關系、二次函數(shù)最值等函數(shù)與方程的綜合運用.
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