已知拋物線C1：x2=2py（p＞0），圓C2：x2+y2-8y+12=0的圓心M到拋物線C1的準線的距離為
9
2
，點P是拋物線C1上一點，過點P，M的直線交拋物線C1于另一點Q，且|PM|=2|MQ|，過點P作圓C2的兩條切線，切點為A、B．
（Ⅰ）求拋物線C1的方程； 
（Ⅱ）求直線PQ的方程及
PA
•
PB
的值．
考點：拋物線的標準方程,平面向量數(shù)量積的運算
專題：圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（Ⅰ）由已知條件推導出4+
p
2
=
9
2
，由此能求出拋物線C1的方程．
（Ⅱ）設PQ的方程：y=kx+4，由
y=kx+4
x2=2y
，得x2-2kx-8=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出直線PQ的方程及
PA
•
PB
的值．
解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）C2：x2+(y-4)2=4，∴M（0，4），…（1分）
拋物線C1：x2=2py的準線方程是y=-
p
2
，
依題意：4+
p
2
=
9
2
，∴p=1，…（3分）
∴拋物線C1的方程為：x2=2y．…（4分）
（Ⅱ）設PQ的方程：y=kx+4，
由
y=kx+4
x2=2y
，得x2-2kx-8=0，設P（x1，y1），Q（x2，y2），
則
PM
=(-x1，4-y1)，
MQ
=(x2，y2-4)，
∵|PM|=2|MQ|，∴
PM
=2
MQ
，∴-x1=2x2，…①
又x1+x2=2k，…②，x1x2=-8，…③，
由①②③得k=±1，
∴PQ的方程為：y=±x+4．…（9分）
取PQ的方程：y=x+4，和拋物線x2=2y，聯(lián)立得P點坐標為P（4，8）
∴|
PM
|=4
2
，連接AM，BM，|
PA
|=|
PB
|=
PM2-PA2
=2
7
，
設∠APM=α，則sinα=
AM
PM
=
2
4
2
=
2
4
，…（11分）
∴
PA
•
PB
=|
PA
|•|
PB
|cos2α
=28（1-2sin2α）=21．…（13分）
點評：本題考查拋物線方程的求法，考查直線方程的求法，考查向量的數(shù)量積的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．
練習冊系列答案
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產品編號 1 2 3 4
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乙批產品所含微量元素y 900 850 910 920
根據抽樣數(shù)據推測（　�。�
A、甲批產品所含微量元素比較穩(wěn)定
B、乙批產品所含微量元素比較穩(wěn)定
C、兩批產品所含微量元素一樣穩(wěn)定
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1
2
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求數(shù)列
22
22-1
，
42
42-1
，
62
62-1
，
82
82-1
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4x+4
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的最小值．

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