Question

如圖，寬為a的走廊與另一寬為b的走廊垂直相連，設細桿AC的長為l，∠ACD=α
（1）試用a，b，α表示l；
（2）當b=a時，求當細桿AC能水平通過拐角時l的最大值；
（3）當l=8a時，問細桿AC能水平通過拐角，則另一走廊寬b至少是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB=，BC=，可表示出l，注意角α范圍；
（2）l==，令t=sinα+cosα=sin（），則l==，t，利用導數可求得l的最小值，從而可得答案；
（3）由（1）可得：b=8asinα-a•，，利用導數可求得b的最小值；
解答：（解：（1）AB=，BC=，
∴l(xiāng)=AB+BC=，∴l(xiāng)=，；
（2）l==，
令t=sinα+cosα=sin（），
∵0＜，∴t，，
∴l(xiāng)==，t，
而＜0，
∴l(xiāng)=在t上是減函數，且當t大于1且無限趨近于1時，l→+∞，∴l(xiāng)∈[4，+∞），
∴細桿AC能水平通過拐角時l的最大值為4．
（3）由（1）可得：b=8asinα-a•，，
b′=8acosα-==，
令b′=0，則cosα=，，
當0＜時，b′＜0；    當時，b′＞0，
∴當時，，
∴另一走廊的寬至少為a．
點評：本題考查導數在解決實際問題中的應用，考查導數求函數的最值，考查學生對題目的理解分析能力．