Question

已知m為常數(shù)，函數(shù)f（x）=

m-2x

1+m•2x

為奇函數(shù)．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若m＞0，試判斷f（x）的單調性（不需證明）；
（Ⅲ）當m＞0時，若存在x∈[-2，2]，使得f（e^x+x-k）+f（2）≤0能成立，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）直接由f（-x）=-f（x）恒成立整理得到（m²-1）（2^x+1）=0恒成立，由此求得m的值；
（Ⅱ）當m＞0時有m=1，代入原函數(shù)借助于指數(shù)函數(shù)的單調性判斷f（x）的單調性；
（Ⅲ）判斷出函數(shù)f（x）的奇偶性，結合單調性把存在x∈[-2，2]，使得f（e^x+x-k）+f（2）≤0能成立，
轉化為存在x∈[-2，2]，使得k≤e^x+x+2能成立．利用導數(shù)求出函數(shù)g（x）=e^x+x+2在[-2，2]上的最大值得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=

m-2x

1+m•2x

為奇函數(shù)，
∴對于其定義域內(nèi)的任意x有f（-x）=-f（x），即

m-2-x

1+m•2-x

=-

m-2x

1+m•2x

，整理得：（m²-1）（2^x+1）=0恒成立．
∴m²=1，m=±1；
（Ⅱ）若m＞0，則m=1，函數(shù)f（x）=

1-2x

1+2x

=-

2x+1-2

2x+1

=-1+

2

2x+1

．
∵2^x為增函數(shù)，
∴f（x）=

1-2x

1+2x

=

2

1+2x

-1為減函數(shù)；
（Ⅲ）當m＞0時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
又f（-x）=

1-2-x

1+2-x

=

2x-1 2x

2x+1 2x

=-

1-2x

1+2x

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)．
由存在x∈[-2，2]，使得f（e^x+x-k）+f（2）≤0能成立，得
存在x∈[-2，2]，使得f（e^x+x-k）≤-f（2）=f（-2）能成立．
即e^x+x-k≥-2，也就是k≤e^x+x+2能成立．
令g（x）=e^x+x+2．
則g′（x）=e^x+1＞1．
∴g（x）=e^x+x+2在[-2，2]上為增函數(shù)．
g(x)max=e2+4．
∴若存在x∈[-2，2]，使得f（e^x+x-k）+f（2）≤0能成立，則實數(shù)k的最大值為e²+4．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)的性質，考查了數(shù)學轉化思想方法，訓練了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，解答此題（Ⅲ）的關鍵在于對題意的理解，是中檔題．