Question

（2008•河西區(qū)三模）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線A₁B與平面BC₁D₁所成的角為（　�。�

• A．arctan

  2

  2

• B．

  π

  6

• C．

  π

  4

• D．arctan

  1

  2

Answer 1

分析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，在四面體A₁B₁CD₁中，分別以三角形A₁C₁D₁與三角形BC₁D₁作底面，利用體積輪換公式即可求得底面BC₁D₁上的高h(yuǎn)，從而可求直線A₁B與平面BC₁D₁所成角θ的正弦，繼而可得答案．

解答：解：四面體A₁B₁CD₁中，
若把三角形A₁C₁D₁看作底面，則高為正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)，
設(shè)棱長(zhǎng)為1，則四面體A₁B₁CD₁的體積V=

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

6

；
若把三角形BC₁D₁看作底面，S△BC1D1=

1

2

×BC₁×C₁D₁=

1

2

×1×

2

=

2

2

；
則四面體A₁B₁CD₁的體積V=

1

3

h•S△BC1D1=

1

3

×

2

2

h=

1

6

，
∴底面BC₁D₁上的高h(yuǎn)=

2

2

，
∴設(shè)直線A₁B與平面BC₁D₁所成角為θ，則sinθ=

h

A1B

=

2 2

2

=

1

2

，
∴θ=

π

6

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成的角，著重考查四面體A₁B₁CD₁中體積輪換公式的應(yīng)用，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．