Question

（2010北京理數(shù)）（19）（本小題共14分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.

(Ⅰ)求動點(diǎn)P的軌跡方程；

(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

Answer 1

（I）解：因?yàn)辄c(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以點(diǎn)得坐標(biāo)為.

    設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

    由題意得

    化簡得  .

    故動點(diǎn)的軌跡方程為

（II）解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，得坐標(biāo)分別為,.

  則直線的方程為，直線的方程為

當(dāng)時(shí)，得

又，

所以=，解得。

因?yàn)?sub>，所以

故存在點(diǎn)使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

解法二：若存在點(diǎn)使得與的面積相等，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

       則.

       因?yàn)?sub>,

       所以

       所以

       即 ，解得

       因?yàn)?sub>，所以

       故存在點(diǎn)S使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.