Question

(2007江蘇，21)已知a，b，c，d是不全為零的實數，函數，．方程f(x)=0有實數根，且f(x)=0的實數根都是g[f(x)]=0的根；反之，g[f(x)]=0的實數根都是f(x)=0的根．

(1)求d的值；

(2)若a=0，求c的取值范圍；

(3)若a=1，f(1)=0，求c的取值范圍．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)設r為方程的一個根，即f(r)=0，則由題設得g[f(r)]=0． 于是g(0)=g[f(r)]=0， 即g(0)=d=0．所以d=0． (2)由題意及(1)知，． 由a=0得b、c是不全為零的實數， 且，則g[f(x)]=x(bx＋c)[bx(bx＋c)＋c] ． 方程f(x)=0就是．　　　　　　　　　① 方程g[f(x)]=0就是．　�、� (i)當c=0時，b≠0，方程①②的根都為x=0，符合題意． (ii)當c≠0，b=0時，方程①②的根都為x=0，符合題意． (iii)當c≠0，b≠0時，方程①的根為，， 它們也都是方程②的根，但它們不是方程的實數根． 由題意，方程無實數根，此方程根的判別式，得0＜c＜4． 綜上所述，所求c的取值范圍為[0，4)． (3)由a=1，f(1)=0得 b=－c，， ．　　　　　　　　　　　　　　　�、� 由f(x)=0可以推得g[f(x)]=0，知方程f(x)=0的根一定是方程g[f(x)]=0的根． 當c=0時，符合題意． 當c≠0時，b≠0，方程f(x)=0的根不是方程　�、艿母�，因此，根據題意，方程④應無實數根，那么當，即0＜c＜4時，，符合題意． 當，即c＜0或c≥4時，由方程④得 ， 即，　�、� 則方程⑤應無實數根，所以有且． 當c＜0時，只需，解得，矛盾，舍去． 當c4時，只需，解得． 因此，． 綜上所述，所求c的取值范圍為．

提示：

剖析：本題主要考查函數、方程、不等式的基本知識，考查綜合運用分類討論、等價轉化等思想方法分析問題及推理論證的能力．