Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函數(shù)，并且在R上單調(diào)遞減．
（1）求a，b的值；
（2）若對于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)性質(zhì)建立條件關(guān)系即可求a，b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵定義域為R的函數(shù)f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即

b-1

1+a

=0，解得b=1，
由f（-1）=-f（1）得a=1，經(jīng)檢驗a=1，b=1符合題意． …（6分）
（2）對于任意t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，
則f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）為奇函數(shù)，∴-f（2t²-k）＜f（k-2t²），
即不等式等價為f（t²-2t）＜f（k-2t²），
∵f（x）為減函數(shù)，
∴t²-2t＞k-2t²，
即k＜3t²-2t恒成立，
而3t²-2t=3（t-

1

3

）²-

1

3

≥-

1

3

，
∴k＜-

1

3

  …（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，以及不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵．