用反證法證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，那么方程f(x)=0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個實數(shù)根．

答案：略
解析：

 證明：假設方程f(x)=0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個實根，設α，β為其中的兩個實根．因為α≠β，不妨設α＜β，又因為函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，所以f(α)＜f(β)．這與f(α)=0=f(β)矛盾．

所以方程f(x)=0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個實根．


提示：

解析：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，就是表明對區(qū)間[a，b]上任意，，若，則，所以如果反設方程f(x)=0在區(qū)間[a，b]上至少有兩個根α，β(α＜β)，則有f(α)=f(β)=0這與假設矛盾．


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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若存在x1，x2∈R且x1＜x2，使得
1
f(x)
=
1
a
(
A
x-x1
+
B
x-x2
)（其中A，B為常數(shù)），則稱f（x））=ax2+bx+c（a≠0）為“可分解函數(shù)”．
（1）試判斷f（x）=x2+3x+2是否為“可分解函數(shù)”，若是，求出A，B的值；若不是，說明理由；
（2）用反證法證明：f（x）=x2+x+1不是“可分解函數(shù)”；
（3）若f（x）=ax2+ax+4（a≠0），是“可分解函數(shù)”，則求a的取值范圍，并寫出A，B關于a的相應的表達式．

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科目：高中數(shù)學 來源：導學大課堂選修數(shù)學1-2蘇教版 蘇教版 題型：047

用反證法證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，那么方程f(x)＝0在區(qū)間[a，b]上至多只有一個實根．

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆江蘇省無錫市高二下期中數(shù)學試卷（成志班）（解析版） 題型：解答題

已知定義在R上的函數(shù)，

定義：.

(1)若，當時比較與的大小關系.

(2)若對任意的，都有使得，用反證法證明：.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆江蘇省無錫市高二下學期期中文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知定義在R上的函數(shù)，

定義：．

（1）若滿足，則稱為函數(shù)的不動點.若函數(shù)有兩個不動點，求b，c滿足的關系式；

（2）若對任意的，都使得，用反證法證明：．

 

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