Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足a_n+2S_nS_n-1=0 （n≥2），a₁=

1

2

，求a_n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：把數(shù)列遞推式中a_n換為s_n-s_n-1，整理得到{

1

Sn

}是等差數(shù)列，公差d=2，然后由等差數(shù)列的通項公式得答案．

解答： ：解：∵a_n+2s_ns_n-1=0（n≥2），
∴s_n-s_n-1+2s_ns_n-1=0．兩邊除以2s_ns_n-1，并移向得出

1

Sn

-

1

Sn-1

=2(n≥2)，
∴{

1

Sn

}是等差數(shù)列，公差d=2，

1

S1

=

1

a1

=2．
∴

1

Sn

=2+2(n-1)=2n，故Sn=

1

2n

．
∴當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

．
當(dāng)n=1時，a₁=

1

2

不符合上式．
∴a_n=

1 2 ，(n=1) - 1 2n(n-1) ，(n≥2)

．
故答案為：

1 2 ，(n=1) - 1 2n(n-1) ，(n≥2)

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，是中檔題．