Question

已知函數f（x）=x+xlnx．
（1）求函數f（x）的圖象在點（1，1）處的切線方程；
（2）若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）對任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

解：（1）因為函數f（x）=x+xlnx，所以f'（x）=lnx+2，所以f'（1）=2，
則函數f（x）的圖象在點（1，1）處的切線方程y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）因為f（x）=x+xlnx，所以k（x-1）＜f（x）對任意x＞1恒成立，
即k（x-1）＜x+xlnx，因為x＞1，
也就是對任意x＞1恒成立．
令，則，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），則，
所以函數h（x）在（1，+∞）上單調遞增．
因為h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當1＜x＜x₀時，h（x）＜0，即g'（x）＜0，當x＞x₀時，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函數在（1，x₀）上單調遞減，在（x₀，+∞）上單調遞增．
所以=
．
所以k＜[g（x）]_min=x₀
因為x₀∈（3，4）．故整數k的最大值是3．
分析：（1）求出函數的導函數，進一步得到f^′（1）的值，由直線方程的點斜式寫出直線方程；
（2）把函數f（x）的解析式代入k（x-1）＜f（x），整理后得k，問題轉化為對任意x∈（1，+∞），k恒成立，求正整數k的值．設函數g（x）=，求其導函數，得到其導函數的零點x₀位于（3，4）內，且知此零點為函數g（x）的最小值點，經求解知g（x₀）=x₀，從而得到k＜x₀，則正整數k的最大值可求．
點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查了數學轉化思想，解答此題的關鍵是，在求解（2）時如何求解函數g（x）=的最小值，學生思考起來有一定難度．此題屬于難度較大的題目．