Question

【題目】在四棱柱中，底面是正方形，且， ．

（1）求證： ；

（2）若動(dòng)點(diǎn)在棱上，試確定點(diǎn)的位置，使得直線與平面所成角的正弦值為．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）連接， ， ， 與的交點(diǎn)為，連接，則，由正方形的性質(zhì)可得，從而得平面， ，

又，所以；（2）由勾股定理可得，由（1）得所以底面，所以、、兩兩垂直．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)（），求得，利用向量垂直數(shù)量積為零可得平面的一個(gè)法向量為，利用空間向量夾角余弦公式列方程可解得，從而可得結(jié)果.

試題解析：（1）連接， ， ，

因?yàn)?/span>， ，

所以和均為正三角形，

于是．

設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，則，

又四邊形是正方形，所以，

而，所以平面．

又平面，所以，

又，所以．

（2）由，及，知，

于是，從而，

結(jié)合， ，得底面，

所以、、兩兩垂直．

如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)?/span>軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ， ， ，

， ，

由，易求得．

設(shè)（），

則，即，

所以．

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由得令，得，

設(shè)直線與平面所成角為，則

，

解得或（舍去），

所以當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用線面垂直證明線線垂直以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.