Question

6．若不等式x²-ax+a＞0在（1，+∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [0，4]
• B． [4，+∞）
• C． （-∞，4）
• D． （-∞，4]

Answer 1

分析 將不等式x²-ax+a＞0在（1，+∞）上恒成立轉(zhuǎn)化為a＜$\frac{{x}^{2}}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立，運(yùn)用基本不等式求出$\frac{{x}^{2}}{x-1}$的最小值即可．

解答 解：∵不等式x²-ax+a＞0在（1，+∞）上恒成立，
∴a＜$\frac{{x}^{2}}{x-1}$在（1，+∞）上恒成立，即a＜$（\frac{{x}^{2}}{x-1}）_{min}$，
∵$\frac{{x}^{2}}{x-1}$=$\frac{（x-1+1）^{2}}{x-1}$=$\frac{（x-1）^{2}+2（x-1）+1}{x-1}$=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+2≥2+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)，取得最小值4．
∴a＜$（\frac{{x}^{2}}{x-1}）_{min}$=4．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了恒成立問題的解法：注意運(yùn)用參數(shù)分離和基本不等式，屬于中檔題．