Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左，右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則|BF₂|+|AF₂|的最大值為（　�。�

• A． 3
• B． 6
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由已知可得：a=2，$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，F(xiàn)₁（-1，0），把x=-1代入橢圓方程可得：y=$±\frac{3}{2}$．由于當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時，|AB|取得最小值為3，由橢圓的定義可知：|BF₂|+|AF₂|+|AB|=4a=8，即可得出|BF₂|+|AF₂|的最大值．

解答 解：由已知可得：a=2，$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，F(xiàn)₁（-1，0），
把x=-1代入橢圓方程可得：${y}^{2}=3×（1-\frac{1}{4}）$，解得y=$±\frac{3}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時，|AB|取得最小值為$2×\frac{3}{2}$=3，
由橢圓的定義可知：|BF₂|+|AF₂|+|AB|=4a=8，
∴|BF₂|+|AF₂|的最大值=8-3=5．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、三角形的周長，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．