Question

過(guò)點(diǎn)M（1，2）的直線l
（1）當(dāng)l在兩個(gè)坐標(biāo)軸上截距的絕對(duì)值相等時(shí)，求直線l的方程；
（2）l與坐標(biāo)軸的正半軸的交點(diǎn)分別為A、B，求△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的截距式方程

專題：直線與圓

分析：（1）分類討論：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)易得直線方程為2x-y=0；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為

x

a

+

y

a

=1或

x

a

+

y

-a

=1，分別代入點(diǎn)可得a值，可得方程；（2）由題意設(shè)直線的截距式方程為

x

a

+

y

b

=1，（a＞0，b＞0），可得

1

a

+

2

b

=1，由基本不等式可得ab≥8，可得面積的最小值和此時(shí)直線的方程．

解答： 解：（1）當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的斜率為

2-0

1-0

=2，
∴直線的方程為y=2x，即2x-y=0；
當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為

x

a

+

y

a

=1或

x

a

+

y

-a

=1，
分別代入點(diǎn)M（1，2）可得a=3或a=-1，
∴所求直線的方程為

x

3

+

y

3

=1或

x

-1

+

y

1

=1
化為一般式可得x+y-3=0或x-y+1=0，
綜上可得直線l的方程為：2x-y=0或x+y-3=0或x-y+1=0
（2）由題意設(shè)直線的截距式方程為

x

a

+

y

b

=1，（a＞0，b＞0），
∴由直線l過(guò)點(diǎn)M可得

1

a

+

2

b

=1，
∴1=

1

a

+

2

b

≥2

1 a • 2 b

=

2 2

ab

，
∴

ab

≥2

2

，ab≥8
∴△AOB面積S=

1

2

ab≥

1

2

×4=2，
當(dāng)且僅當(dāng)

1

a

=

2

b

即a=2且b=4時(shí)取等號(hào)
∴△AOB面積的最小值4，
此時(shí)直線l方程為

x

2

+

y

4

=1，化為一般式可得：2x+y-4=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線的截距式方程，涉及基本不等式和三角形的面積，屬中檔題．