Question

已知，，且直線與曲線相切．

（1）若對內(nèi)的一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，求最大的正整數(shù)，使得對（是自然對數(shù)的底數(shù)）內(nèi)的任意個實(shí)數(shù) 都有成立；

（3）求證：．

 

Answer 1

（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn)，則有．（*）

，． （**）

由（*）、（**）兩式，解得，．……………………………2分

由整理，得，

，要使不等式恒成立，必須恒成立．

設(shè)，，

，當(dāng)時，，則是增函數(shù)，

，是增函數(shù)，，．…………………5分

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．………………………………………6分

（2）當(dāng)時，，

，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．

要對內(nèi)的任意個實(shí)數(shù)都有

成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，

當(dāng)時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．

，解得．

因此，的最大值為．………………………………………10分

（3）證明（法一）：當(dāng)時，根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時，，

即．………………………………………………………11分

令，得，

化簡得，………………………………13分

．………………………14分

（法二）數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時，左邊=，右邊=，

根據(jù)（1）的推導(dǎo)有，時，，即．

令，得，即．

因此，時不等式成立．………………………………11分

（另【解析】
，，，即．）

假設(shè)當(dāng)時不等式成立，即，

則當(dāng)時,，

要證時命題成立，即證，

即證．

在不等式中，令，得

．

時命題也成立．………………………………………13分

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可得不等式對一切成立． …14分

本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用、不等式的求解與證明、數(shù)學(xué)歸納法等綜合知識，考查學(xué)生的計算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識．